Inecuații de forma ax + b ≥ 0, unde a, b ∈ ℝ

Până acum ai rezolvat ecuații — căutai o valoare exactă pentru \(x\). O inecuație funcționează diferit: în loc de o valoare unică, vei găsi o mulțime întreagă de valori care verifică o condiție de inegalitate. Această mulțime de soluții va fi, de regulă, un interval de numere reale.

Definiție

O inecuație de gradul întâi cu necunoscuta \(x\) este o relație de forma \(ax + b \geq 0\), unde \(a, b \in \mathbb{R}\) sunt numere cunoscute, iar \(x\) este necunoscuta. Simbolul \(\geq\) poate fi înlocuit cu \(>, \leq\) sau \(<\), în funcție de problemă.

A rezolva o inecuație înseamnă a găsi toate valorile lui \(x\) pentru care inegalitatea este adevărată. Aceste valori formează mulțimea soluțiilor, notată \(S\).

Această lecție face parte din capitolul dedicat studiului intervalelor și inecuațiilor. Poți consulta toate lecțiile din capitol aici: Intervale de numere reale și inecuații în \(\mathbb{R}\).

Cum se rezolvă — reguli de bază

Pașii sunt aproape identici cu cei de la ecuații: muți termenii și simplifici. Există o singură regulă în plus, foarte importantă.

Adunarea sau scăderea aceluiași număr din ambii membri nu schimbă sensul inegalității: \(x – 3 > 1 \implies x > 4\).

Înmulțirea sau împărțirea cu un număr pozitiv nu schimbă sensul inegalității: \(2x < 8 \implies x < 4\).

Înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ schimbă sensul inegalității. Acesta este singurul loc unde inecuațiile se comportă diferit față de ecuații: \(-2x < 8 \implies x > -4\).

De ce se schimbă sensul? Un exemplu concret: \(2 < 5\) este adevărat. Dacă înmulțim cu \(-1\), obținem \(-2\) și \(-5\). Pe axă, \(-2\) este mai mare decât \(-5\), deci relația devine \(-2 > -5\). Sensul s-a inversat.

Algoritmul general pentru ax + b ≥ 0

Fie inecuația \(ax + b \geq 0\), cu \(a \neq 0\). Rezolvarea urmează doi pași.

Pasul 1. Mutăm \(b\) în membrul drept: \(ax \geq -b\).

Pasul 2. Împărțim prin \(a\). Aici contează semnul lui \(a\).

Dacă \(a > 0\), sensul rămâne același: \(x \geq -\dfrac{b}{a}\), deci \(S = \left[-\dfrac{b}{a},\ +\infty\right)\).

Dacă \(a < 0\), sensul se inversează: \(x \leq -\dfrac{b}{a}\), deci \(S = \left(-\infty,\ -\dfrac{b}{a}\right]\).

Dacă inegalitatea este strictă (\(>\) sau \(<\)), paranteza la capătul finit devine rotundă.

Cazul special: a = 0

Dacă \(a = 0\), inecuația devine \(b \geq 0\), iar \(x\) dispare. Dacă \(b \geq 0\) (de exemplu \(5 \geq 0\) — adevărat), atunci orice valoare a lui \(x\) este soluție: \(S = \mathbb{R}\). Dacă \(b < 0\) (de exemplu \(-3 \geq 0\) — fals), atunci nicio valoare nu este soluție: \(S = \emptyset\).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Coeficient pozitiv

Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{R}\) inecuația \(4x – 12 < 0\).

\(4x – 12 < 0\)

\(4x < 12\)

Împărțim prin \(4\) (număr pozitiv — sensul rămâne neschimbat):

\(x < 3\)

\(S = (-\infty,\ 3)\)

Paranteza rotundă la \(3\) pentru că inegalitatea este strictă — \(3\) nu este inclus în soluție.

Exemplul 2 – Coeficient negativ

Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{R}\) inecuația \(-3x + 6 \geq 0\).

\(-3x + 6 \geq 0\)

\(-3x \geq -6\)

Împărțim prin \(-3\) (număr negativ — sensul se inversează, \(\geq\) devine \(\leq\)):

\(x \leq \dfrac{-6}{-3} = 2\)

\(S = (-\infty,\ 2]\)

Paranteza pătrată la \(2\) pentru că inegalitatea este nestrică — \(2\) este inclus în soluție.

Exemplul 3 – Rezolvare în ℕ

Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{N}\) inecuația \(2x – 7 \leq 3\).

\(2x – 7 \leq 3\)

\(2x \leq 10\)

\(x \leq 5\)

Dacă rezolvam în \(\mathbb{R}\), soluția ar fi \((-\infty, 5]\). Dar \(x \in \mathbb{N}\), deci reținem doar numerele naturale care verifică \(x \leq 5\):

\(S = \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\)

Exemplul 4 – Condiție combinată cu divizibilitate

Enunț: Determină elementele mulțimii \(A = \left\{x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \dfrac{10}{x-1} \in \mathbb{Z} \ \text{și} \ x – 1 > 0\right\}\).

Condiția 1: \(\dfrac{10}{x-1} \in \mathbb{Z}\) înseamnă că \((x-1)\) trebuie să fie un divizor întreg al lui \(10\): \(x – 1 \in \{-10,\ -5,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 5,\ 10\}\).

Condiția 2: \(x – 1 > 0\) înseamnă că păstrăm doar divizorii strict pozitivi: \(x – 1 \in \{1,\ 2,\ 5,\ 10\}\).

Adăugând \(1\) la fiecare valoare obținem \(x\): \(x \in \{2,\ 3,\ 6,\ 11\}\), deci \(A = \{2,\ 3,\ 6,\ 11\}\).

Observație: Condiția \(x – 1 > 0\) luată singură în \(\mathbb{R}\) ar da intervalul \((1, +\infty)\) — infinit de soluții. Condiția de divizibilitate reduce rezultatul la o mulțime finită.

Greșeli frecvente

Uitarea inversării sensului la împărțirea cu un număr negativ. Din \(-2x \leq 8\) se obține corect \(x \geq -4\), nu \(x \leq -4\). Ori de câte ori împarți sau înmulțești cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.

Ignorarea mulțimii în care se rezolvă inecuația. Dacă enunțul cere rezolvarea în \(\mathbb{N}\) și obții \(x < 4\), soluția nu este \((-\infty, 4)\), ci \(\{0, 1, 2, 3\}\). Mulțimea în care lucrezi schimbă forma răspunsului final.

Legătura cu lecțiile următoare

Această lecție este baza pentru rezolvarea sistemelor de inecuații. Când vei avea două inecuații simultan, vei rezolva fiecare separat, obținând câte un interval, apoi vei calcula intersecția lor — exact operația studiată în lecția anterioară.

Tot aceeași tehnică apare și la fracții algebrice și radicali, unde trebuie să pui condiții de existență — de exemplu, că expresia de sub un radical de ordin par este \(\geq 0\) — și să le rezolvi ca inecuații de gradul întâi.

Capitolul face parte din programa de Matematică pentru clasa a VIII-a, unde găsești toate lecțiile organizate pe capitole și unități de învățare. Resurse suplimentare despre rezolvarea inecuațiilor de gradul întâi sunt disponibile și pe Khan Academy.