Ecuații de forma ax² + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0

Până acum ai rezolvat ecuații de gradul întâi, unde \(x\) apărea la puterea 1. Această lecție introduce ecuații de gradul al doilea — cele în care apare \(x^2\). Ele au cel mult două soluții reale și se rezolvă printr-un algoritm fix, pe care îl vei folosi des.

Definiție

O ecuație de gradul al doilea are forma:

\[ax^2 + bx + c = 0, \quad a, b, c \in \mathbb{R},\ a \neq 0\]

Numerele \(a\), \(b\) și \(c\) se numesc coeficienți: \(a\) este coeficientul lui \(x^2\), \(b\) este coeficientul lui \(x\), iar \(c\) este termenul liber (nu conține \(x\)). Condiția \(a \neq 0\) este obligatorie — dacă \(a\) ar fi zero, termenul \(x^2\) ar dispărea și ecuația ar deveni de gradul întâi.

Înainte să extragi coeficienții, asigură-te că ecuația este în forma standard: toți termenii în stânga, zero în dreapta, ordonați după puterile lui \(x\). De exemplu, din \(3x^2 = 5x – 2\) trebuie să obții \(3x^2 – 5x + 2 = 0\), unde \(a=3\), \(b=-5\), \(c=2\).

Ecuații incomplete

Când unul dintre coeficienți este zero, nu ai nevoie de formula generală.

Dacă \(b = 0\): ecuația devine \(ax^2 + c = 0\). Izolezi \(x^2\) și extragi radicalul. Dacă \(x^2 = k > 0\), ai două soluții: \(x = \sqrt{k}\) și \(x = -\sqrt{k}\). Dacă \(k < 0\), nu există soluții reale.

Dacă \(c = 0\): ecuația devine \(ax^2 + bx = 0\). Scoți factor comun pe \(x\): \(x(ax + b) = 0\). Un produs este zero când cel puțin unul dintre factori este zero, deci \(x = 0\) sau \(ax + b = 0\).

Formula discriminantului — pentru ecuații complete

Când niciun coeficient nu este zero, folosești discriminantul, notat \(\Delta\) (delta):

\[\Delta = b^2 – 4ac\]

Valoarea lui \(\Delta\) îți spune câte soluții are ecuația:

Dacă \(\Delta > 0\): două soluții reale distincte:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Dacă \(\Delta = 0\): o singură soluție (sau două soluții egale):

\[x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}\]

Dacă \(\Delta < 0\): nicio soluție reală, \(S = \emptyset\).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Ecuație incompletă (lipsește termenul cu x)

Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația \(2x^2 – 18 = 0\).

Lipsește \(b\), deci nu folosim formula cu \(\Delta\). Izolăm \(x^2\):

\[2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9\]

Extragem radicalul — atenție, există două valori:

\[x = 3 \quad \text{sau} \quad x = -3\] \[S = \{-3,\ 3\}\]

Exemplul 2 – Ecuație completă cu formula discriminantului

Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația \(x^2 – 6x + 8 = 0\).

Identificăm coeficienții: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\).

Calculăm discriminantul:

\[\Delta = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 – 32 = 4\]

\(\Delta > 0\), deci două soluții distincte. \(\sqrt{\Delta} = 2\).

\[x_1 = \frac{-(-6) + 2}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-6) – 2}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\]

Verificare: \(4^2 – 6 \cdot 4 + 8 = 16 – 24 + 8 = 0\) ✓ și \(2^2 – 6 \cdot 2 + 8 = 4 – 12 + 8 = 0\) ✓

\[S = \{2,\ 4\}\]

Exemplul 3 – Ecuație de gradul al doilea combinată cu o condiție de fracție

Enunț: Determină elementele mulțimii \(A = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 – 3x – 10 = 0 \ \text{și} \ \dfrac{12}{x-1} \in \mathbb{Z}\right\}\).

Rezolvăm mai întâi ecuația. \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-10\).

\[\Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\] \[x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2} \Rightarrow x_1 = 5,\quad x_2 = -2\]

Verificăm acum care dintre cele două soluții face \(\dfrac{12}{x-1} \in \mathbb{Z}\):

\(x = 5\): \(\dfrac{12}{5-1} = \dfrac{12}{4} = 3 \in \mathbb{Z}\) ✓

\(x = -2\): \(\dfrac{12}{-2-1} = \dfrac{12}{-3} = -4 \in \mathbb{Z}\) ✓

Ambele soluții trec verificarea:

\[A = \{-2,\ 5\}\]

Notă: Ecuația de gradul al doilea a dat cel mult două soluții. Condiția de fracție a verificat fiecare dintre ele — în acest caz ambele au fost acceptate.

Greșeli frecvente

Semnul lui \(-b\) în formulă. Dacă \(b = -6\), atunci \(-b = -(-6) = +6\). Este greșeala care apare cel mai des la calculul soluțiilor. Scrie explicit \(-b\) înainte de a înlocui.

O singură soluție la \(x^2 = k\). Din \(x^2 = 25\) rezultă \(x = 5\) și \(x = -5\), nu doar \(x = 5\). Orice ecuație de tipul \(x^2 = k > 0\) are două soluții.

Extragerea coeficienților înainte de forma standard. Din \(2x^2 + 3x = 4\) nu poți spune că \(c = 4\). Mai întâi aduci la forma standard: \(2x^2 + 3x – 4 = 0\), de unde \(c = -4\).

Legătura cu lecțiile următoare

Ecuațiile de gradul al doilea sunt prezente și la liceu, în studiul funcțiilor de gradul al doilea. Soluțiile \(x_1\) și \(x_2\) pe care le calculezi acum reprezintă geometric punctele unde o parabolă taie axa \(Ox\). Poți explora mai departe toate temele din Matematică clasa a VIII-a pentru a vedea cum se leagă capitolele între ele.

Această lecție face parte din unitatea Calcul algebric în R – Clasa a VIII-a, unde găsești toate lecțiile capitolului în ordine.

Pentru exerciții suplimentare și explicații vizuale despre ecuații de gradul al doilea, poți exersa și pe Khan Academy — secțiunea dedicată ecuațiilor de gradul al doilea are exerciții interactive pe care le poți rezolva direct în browser.