Fracții algebrice. Condiții de existență, amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice

O fracție algebrică are aceeași structură ca o fracție obișnuită — numărător, linie de fracție, numitor — cu diferența că în loc de numere simple avem expresii cu variabile. De exemplu, \(\dfrac{x+2}{3x}\) sau \(\dfrac{x^2-4}{x+1}\) sunt fracții algebrice.

Ca la orice fracție, regula de bază rămâne: numitorul nu poate fi zero. De aceea, primul lucru pe care îl faci cu o fracție algebrică este să afli pentru ce valori ale lui \(x\) fracția are sens.

Dacă vrei să vezi cum se leagă fracțiile algebrice de restul capitolului, găsești structura completă la Calcul algebric în R – Clasa a VIII-a.

Condiția de existență (domeniul de definiție)

Pentru ca o fracție algebrică să aibă sens, numitorul trebuie să fie diferit de zero. Pui numitorul diferit de zero, rezolvi, și valorile găsite sunt interzise — le elimini din \(\mathbb{R}\).

Domeniul de definiție se scrie ca \(\mathbb{R}\) din care scoți valorile interzise: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{valori\ interzise\}\).

Atenție: domeniul se calculează întotdeauna pe forma inițială a fracției, înainte de orice simplificare. O fracție simplificată poate „ascunde” numitori care în forma originală ar fi putut fi zero.

Amplificarea și simplificarea

Amplificarea înseamnă să înmulțești atât numărătorul cât și numitorul cu aceeași expresie nenulă. Fracția nu se schimbă ca valoare, dar capătă o altă formă — utilă când vrei să aduci mai multe fracții la același numitor:

\[\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{A(x) \cdot E(x)}{B(x) \cdot E(x)}, \quad E(x) \neq 0\]

Simplificarea este operația inversă: împarți atât numărătorul cât și numitorul prin același factor comun nenul. Rezultatul este o fracție echivalentă, mai simplă:

\[\frac{A(x) \cdot E(x)}{B(x) \cdot E(x)} = \frac{A(x)}{B(x)}, \quad E(x) \neq 0\]

Ca să poți simplifica, trebuie ca numărătorul și numitorul să fie scrise ca produse de factori. Nu poți tăia termeni dintr-o sumă — poți tăia doar factori dintr-o înmulțire. De aceea, înainte de simplificare, descompui în factori ambele expresii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Condiția de existență

Enunț: Determină valorile reale ale lui \(x\) pentru care fracția \(F(x) = \dfrac{3x+1}{x^2-9}\) are sens.

Punem numitorul diferit de zero:

\[x^2 – 9 \neq 0\]

Descompunem: \((x-3)(x+3) \neq 0\), deci \(x \neq 3\) și \(x \neq -3\).

Domeniul de definiție: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 3\}\).

Exemplul 2 – Simplificarea unei fracții algebrice

Enunț: Simplifică fracția \(E(x) = \dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}\), cu \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}\).

Descompunem numărătorul — recunoaștem pătratul unei sume:

\[x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = (x+2)(x+2)\]

Descompunem numitorul — recunoaștem diferența de pătrate:

\[x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\]

Rescriem fracția:

\[\frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\]

Simplificăm factorul comun \((x+2)\) — este permis deoarece \(x \neq -2\):

\[E(x) = \frac{x+2}{x-2}\]

Exemplul 3 – Când rezultatul fracției trebuie să fie număr întreg

Enunț: Fie \(F(x) = \dfrac{3x-1}{x+1}\). Determină elementele mulțimii \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid F(x) \in \mathbb{Z}\}\).

Ca să putem aplica divizibilitatea, transformăm fracția astfel încât numărătorul să nu mai conțină \(x\). Scriem \(3x – 1\) în funcție de \((x+1)\):

\[3x – 1 = 3(x+1) – 4\]

Deci:

\[\frac{3x-1}{x+1} = \frac{3(x+1) – 4}{x+1} = 3 – \frac{4}{x+1}\]

Pentru ca rezultatul să fie număr întreg, \(\dfrac{4}{x+1}\) trebuie să fie număr întreg. Asta înseamnă că \((x+1)\) trebuie să fie un divizor întreg al lui \(4\).

Divizorii întregi ai lui \(4\): \(\{-4,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 4\}\).

Deci \(x + 1 \in \{-4,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 4\}\), de unde \(x \in \{-5,\ -3,\ -2,\ 0,\ 1,\ 3\}\).

Verificăm că niciuna dintre valori nu face numitorul zero (\(x \neq -1\)) ✓.

\[A = \{-5,\ -3,\ -2,\ 0,\ 1,\ 3\}\]

Notă: Deși \(x \in \mathbb{Z}\) înseamnă infinit de valori posibile, condiția că rezultatul fracției să fie întreg reduce mulțimea la exact 6 elemente.

Greșeli frecvente

Simplificarea termenilor dintr-o sumă. Din \(\dfrac{2x+4}{2}\) nu poți tăia direct \(2\) cu \(2\) și să obții \(x+4\). Mai întâi descompui numărătorul: \(2x+4 = 2(x+2)\), și abia apoi simplifici: \(\dfrac{2(x+2)}{2} = x+2\). Simplificarea se face numai cu factori, nu cu termeni.

Calcularea domeniului pe forma simplificată. Domeniul se stabilește pe fracția inițială, nu după simplificare. Dacă simplifici mai întâi și apoi calculezi domeniul, poți pierde valori interzise care au dispărut din numitor odată cu factorul comun eliminat.

Uitarea condițiilor la final. Dacă găsești soluții pentru \(x\), verifică la sfârșit că niciuna dintre ele nu face numitorul zero în fracția inițială.

Legătura cu lecțiile următoare

La lecția despre operații cu fracții algebrice vei aduna, scădea, înmulți și împărți astfel de fracții. Aducerea la numitor comun — pasul cel mai important de acolo — se face prin amplificare. Iar simplificarea pe care ai învățat-o azi este cel mai rapid mod de a reduce calculele înainte să începi operațiile.

Toate temele din clasa a VIII-a sunt conectate — poți vedea imaginea de ansamblu la Matematică clasa a VIII-a, unde găsești și celelalte unități de învățare.