Funcții definite pe mulțimi finite. Diagrame, tabele și formule

O funcție este o regulă prin care fiecărui element dintr-o mulțime i se asociază exact un element dintr-o altă mulțime. Prima mulțime se numește domeniu de definiție, a doua se numește codomeniu, iar regula care face legătura se numește lege de corespondență.

Notația standard este \(f: A \to B\), citită „funcția \(f\) definită pe \(A\) cu valori în \(B\)”. Valoarea funcției în punctul \(x\) se scrie \(f(x)\) și se citește „\(f\) de \(x\)”.

În această lecție lucrăm cu mulțimi finite — mulțimi cu un număr mic de elemente — ca să înțelegem exact cum funcționează asocierea înainte de a trece la mulțimi infinite.

Când o asociere este funcție?

O asociere între mulțimile \(A\) și \(B\) este funcție dacă sunt îndeplinite două condiții:

Fiecare element din \(A\) are un corespondent. Niciun element din domeniu nu rămâne fără pereche.

Fiecare element din \(A\) are un singur corespondent. Un element din domeniu nu poate trimite la două rezultate diferite în același timp.

Pentru codomeniu regulile sunt mai relaxate: două elemente diferite din \(A\) pot da același rezultat în \(B\), și pot exista elemente din \(B\) la care nu ajunge nicio săgeată.

Imaginea funcției

Codomeniul \(B\) este mulțimea în care funcția are voie să ia valori. Dar nu toate elementele din \(B\) sunt neapărat rezultate ale funcției. Mulțimea valorilor efectiv obținute se numește imaginea funcției și se notează \(\text{Im}f\):

\[\text{Im}f = \{f(x) \mid x \in A\}\]

Întotdeauna \(\text{Im}f \subseteq B\).

Trei moduri de a reprezenta o funcție pe mulțimi finite

Diagrama (Venn-Euler): două ovale — în stânga elementele lui \(A\), în dreapta elementele lui \(B\) — legate prin săgeți. Este cel mai vizual mod.

Tabelul de valori: prima linie conține valorile lui \(x\) din domeniu, a doua linie conține valorile corespunzătoare \(f(x)\).

Formula algebrică: o regulă de calcul ca \(f(x) = 2x + 1\). Înlocuiești pe rând fiecare element din domeniu și calculezi rezultatul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – De la formulă la tabel de valori

Enunț: Fie funcția \(f: \{-1, 0, 1, 2\} \to \mathbb{Z}\), \(f(x) = 3x – 2\). Construiește tabelul de valori și scrie imaginea funcției.

Calculăm \(f(x)\) pentru fiecare element din domeniu:

\(f(-1) = 3 \cdot (-1) – 2 = -5\)

\(f(0) = 3 \cdot 0 – 2 = -2\)

\(f(1) = 3 \cdot 1 – 2 = 1\)

\(f(2) = 3 \cdot 2 – 2 = 4\)

\(\text{Im}f = \{-5,\ -2,\ 1,\ 4\}\)

Toate valorile obținute aparțin lui \(\mathbb{Z}\) ✓.

Exemplul 2 – Analiza unei asocieri prin diagramă

Enunț: Fie \(A = \{2, 4, 6\}\) și \(B = \{1, 3, 5, 7\}\). Asocierile sunt: \(2 \to 3\), \(4 \to 3\), \(6 \to 7\). Este aceasta o funcție? Dacă da, determină \(\text{Im}f\).

Verificăm prima condiție: fiecare element din \(A\) are corespondent — \(2\), \(4\) și \(6\) trimit fiecare câte o săgeată ✓.

Verificăm a doua condiție: din fiecare element din \(A\) pleacă exact o săgeată. Faptul că \(2\) și \(4\) ajung în același punct (\(3\)) este permis ✓.

Asocierea este funcție.

Imaginea funcției conține doar elementele din \(B\) care au primit o săgeată:

\(\text{Im}f = \{3,\ 7\}\)

Elementele \(1\) și \(5\) din \(B\) nu sunt atinse de nicio săgeată — rămân în codomeniu, dar nu fac parte din imagine.

Exemplul 3 – Domeniu dat printr-o condiție de divizibilitate

Enunț: Fie \(D = \{x \in \mathbb{N} : \frac{10}{x-2} \in \mathbb{N}\}\). Funcția \(f: D \to \mathbb{R}\) este dată prin \(f(x) = x^2 – 10\). Determină \(D\) și \(\text{Im}f\).

Pentru ca \(D = \{x \in \mathbb{N} : \dfrac{10}{x-2} \in \mathbb{N}\}\), numitorul \((x-2)\) trebuie să fie un divizor natural (natural nenul) al lui \(10\).

Divizorii naturali ai lui \(10\): \(\{1, 2, 5, 10\}\).

Calculăm \(x\) pentru fiecare:

\(x – 2 = 1 \Rightarrow x = 3\)

\(x – 2 = 2 \Rightarrow x = 4\)

\(x – 2 = 5 \Rightarrow x = 7\)

\(x – 2 = 10 \Rightarrow x = 12\)

Toate valorile sunt naturale ✓. Deci \(D = \{3,\ 4,\ 7,\ 12\}\).

Calculăm \(f(x) = x^2 – 10\) pentru fiecare element:

\(f(3) = 9 – 10 = -1\)

\(f(4) = 16 – 10 = 6\)

\(f(7) = 49 – 10 = 39\)

\(f(12) = 144 – 10 = 134\)

\(\text{Im}f = \{-1,\ 6,\ 39,\ 134\}\)

Notă: Condiția de divizibilitate a transformat un domeniu potențial infinit (\(\mathbb{N}\)) într-o mulțime cu exact patru elemente.

Greșeli frecvente

Confundarea codomeniului cu imaginea funcției. Codomeniul \(B\) este mulțimea în care funcția are voie să ia valori. Imaginea \(\text{Im}f\) conține doar valorile efectiv obținute prin calcul. Pot fi diferite — și de cele mai multe ori sunt.

Credința că \(f(2) = f(3)\) înseamnă că funcția e greșită. Este perfect legal ca două elemente din domeniu să dea același rezultat. Ilegal este ca un singur element din domeniu să dea două rezultate diferite.

Omiterea unui element din domeniu. La funcțiile definite prin formulă pe o mulțime finită, trebuie calculat \(f(x)\) pentru fiecare element din domeniu, fără excepție.

Legătura cu lecțiile următoare

Tabelul de valori pe care l-ai construit azi este exact instrumentul pe care îl vei folosi la funcțiile definite pe \(\mathbb{R}\). Acolo domeniul este infinit și nu mai poți calcula toate valorile, dar vei alege câteva valori strategice din domeniu, vei calcula \(f(x)\) pentru ele și vei obține perechi de forma \((x, f(x))\). Acele perechi devin coordonate în sistemul de axe \(xOy\) și îți permit să trasezi graficul funcției.

Vrei să exersezi mai mult? Pe didactic.ro găsești fișe de lucru și materiale suplimentare despre funcții, create de profesori din România.

Această lecție face parte din unitatea Funcții – Clasa a VIII-a. Dacă vrei să explorezi toate temele din programa de clasa a VIII-a, te așteptăm la Matematică clasa a VIII-a — un loc unde matematica chiar are sens.