Operații cu fracții algebrice

Știi deja ce este o fracție algebrică și cum se simplifică. Acum facem un pas mai departe și învățăm operații cu fracții algebrice: adunăm, scădem, înmulțim și împărțim fracții care conțin litere. Regulile sunt exact aceleași ca la fracțiile cu numere — singura diferență este că în loc de numere avem expresii cu \(x\).

Regulile de calcul

Adunarea și scăderea se fac cu același numitor. Dacă numitorii sunt diferiți, aduci mai întâi fracțiile la același numitor, apoi aduni sau scazi numărătorii:

\[\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B} = \frac{A \pm C}{B}\]

Înmulțirea — înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei:

\[\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\]

Împărțirea — transformi în înmulțire cu inversul celei de-a doua fracții:

\[\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\]

Ridicarea la putere — ridici separat numărătorul și numitorul la acea putere:

\[\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}\]

Înainte de orice operație, stabilești condițiile de existență — toți numitorii trebuie să fie diferiți de zero. La împărțire, numărătorul fracției cu care împarți devine și el numitor după răsturnare, deci primește și el această condiție.

Tot ce ai învățat despre fracții algebrice până acum face parte din capitolul Calcul algebric în R – Clasa a VIII-a — îl poți consulta oricând pentru a vedea lecțiile în ordine.

Cum găsești numitorul comun

Când aduni fracții cu numitori diferiți, nu înmulți mecanic toți numitorii. Mai întâi descompui fiecare numitor în factori, apoi iei cel mai mic multiplu comun — adică produsul factorilor diferiți, fiecare la puterea cea mai mare la care apare. Asta evită expresii inutile de grad mare.

La înmulțire și împărțire, descompune tot înainte de a înmulți. Scopul este să simplifici factorii comuni înainte de a scrie rezultatul, nu după.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Enunț: Adu la forma cea mai simplă expresia \(E(x) = \dfrac{x}{x^2-4} – \dfrac{1}{x+2}\), cu \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}\).

Descompunem primul numitor: \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\). Al doilea numitor este deja \((x+2)\).

Numitorul comun este \((x-2)(x+2)\). Amplificăm a doua fracție cu \((x-2)\):

\[\frac{x}{(x-2)(x+2)} – \frac{x-2}{(x-2)(x+2)}\]

Scădem numărătorii — atenție la paranteza invizibilă în fața celui de-al doilea numărător:

\[\frac{x – (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x – x + 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x^2-4}\]

Rezultat: \(E(x) = \dfrac{2}{x^2-4}\).

Exemplul 2 – Împărțirea fracțiilor algebrice

Enunț: Calculează \(F(x) = \dfrac{x^2+3x}{x^2-9} : \dfrac{x}{x-3}\), cu \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 0,\ 3\}\).

Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversul:

\[\frac{x^2+3x}{x^2-9} \cdot \frac{x-3}{x}\]

Descompunem în factori tot ce se poate:

\(x^2 + 3x = x(x+3)\) și \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\).

\[\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{x}\]

Simplificăm \((x+3)\), \((x-3)\) și \(x\):

\[F(x) = 1\]

Exemplul 3 – Operații compuse și condiție de divizibilitate

Enunț: Fie \(E(x) = \left(\dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x+2}\right) \cdot \dfrac{x^2-4}{2}\). Determină mulțimea \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid \dfrac{6}{E(x)} \in \mathbb{Z}\}\), cu \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}\).

Pasul 1 — calculăm suma din paranteză. Numitorul comun este \((x-2)(x+2)\):

\[\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2+x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x}{x^2-4}\]

Pasul 2 — înmulțim cu \(\dfrac{x^2-4}{2}\):

\[\frac{2x}{x^2-4} \cdot \frac{x^2-4}{2} = x\]

Deci \(E(x) = x\).

Pasul 3 — condiția de divizibilitate. Condiția \(\dfrac{6}{x} \in \mathbb{Z}\) cere ca \(x\) să fie un divizor întreg al lui \(6\):

\[x \in \{-6,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 6\}\]

Pasul 4 — aplicăm condițiile de existență. Din domeniu, \(x \neq -2\) și \(x \neq 2\), deci eliminăm \(-2\) și \(2\) din listă.

\[A = \{-6,\ -3,\ -1,\ 1,\ 3,\ 6\}\]

Notă: Deși \(x \in \mathbb{Z}\) înseamnă infinit de valori posibile, condiția de divizibilitate și condițiile de existență reduc mulțimea la exact 6 elemente.

Greșeli frecvente în operații cu fracții algebrice

Minusul din fața unei fracții nu se aplică doar primului termen. La \(\dfrac{3x}{x+1} – \dfrac{x-2}{x+1}\), numărătorul nu este \(3x – x – 2\), ci \(3x – (x-2) = 3x – x + 2 = 2x + 2\). Minusul schimbă semnul tuturor termenilor din fracția care urmează.

Simplificarea termenilor dintr-o sumă. Din \(\dfrac{2x+4}{2x}\) nu poți tăia \(2x\) cu \(2x\) și obține \(4\). Mai întâi scoți factor comun la numărător: \(\dfrac{2(x+2)}{2x}\), apoi simplifici \(2\) cu \(2\) și obții \(\dfrac{x+2}{x}\).

Uitarea condițiilor de existență la final. Orice valoare interzisă din domeniu trebuie eliminată și din soluțiile găsite, chiar dacă s-a obținut printr-un calcul corect de divizibilitate.

Legătura cu lecțiile următoare

La ecuațiile de gradul al doilea vei întâlni expresii fracționare în care trebuie să aduci totul la același numitor, să elimini numitorul și să rezolvi ce rămâne. Fără operațiile pe care le-ai exersat aici, acel pas nu poate fi făcut corect.

Dacă vrei să explorezi și celelalte teme din programa de clasa a VIII-a, le găsești pe toate la Matematică clasa a VIII-a.