Operații cu intervale numerice: intersecția și reuniunea

Intervalele de numere reale sunt mulțimi. Ca orice mulțimi, le putem combina în două moduri: găsim ce au în comun (intersecția) sau le lipim pe toate la un loc (reuniunea). Aceste două operații cu intervale numerice sunt exact ce vei folosi când rezolvi sisteme de inecuații.

Intersecția — ce au în comun două intervale

Intersecția a două intervale \(A\) și \(B\), notată \(A \cap B\), conține toate numerele reale care se află simultan în \(A\) și în \(B\). Pe axă, este porțiunea unde cele două intervale se suprapun.

\[A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in A \ \text{și} \ x \in B\}\]

Un capăt este inclus în intersecție (paranteză pătrată) numai dacă aparține amândurora. Dacă în cel puțin unul dintre intervale capătul este exclus (paranteză rotundă), rămâne exclus și în rezultat.

Reuniunea — toate numerele din cel puțin un interval

Reuniunea a două intervale \(A\) și \(B\), notată \(A \cup B\), conține toate numerele care aparțin cel puțin unuia dintre cele două intervale.

\[A \cup B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in A \ \text{sau} \ x \in B\}\]

Un capăt este inclus în reuniune dacă aparține cel puțin unuia dintre intervale.

Cele patru situații posibile pe axă

Când pui două intervale pe axă, poți întâlni una dintre aceste situații:

Pentru recapitularea completă a noțiunilor despre intervale și inecuații, consultă și capitolul Intervale de numere reale. Inecuații în \(\mathbb{R}\).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Suprapunere parțială

Enunț: Fie \(A = [-3, 5)\) și \(B = [1, 7]\). Calculați \(A \cap B\) și \(A \cup B\).

Plasăm extremitățile pe axă în ordine crescătoare: \(-3,\ 1,\ 5,\ 7\).

Intervalul \(A = [-3, 5)\): pornește din \(-3\) inclus și se oprește la \(5\) exclus.
Intervalul \(B = [1, 7]\): pornește din \(1\) inclus și se termină la \(7\) inclus.

Intersecția \(A \cap B\): zona comună se află între \(1\) și \(5\).
La \(1\): inclus în ambele intervale → paranteză pătrată.
La \(5\): exclus din \(A\) → rămâne exclus.

\[A \cap B = [1,\ 5)\]

Reuniunea \(A \cup B\): zona acoperită de cel puțin un interval merge de la \(-3\) inclus până la \(7\) inclus, fără întrerupere.

\[A \cup B = [-3,\ 7]\]

Exemplul 2 – Intervale care se ating într-un punct

Acesta este cazul care produce cele mai multe greșeli și merită atenție separată.

Cazul 2a. Fie \(A = [1, 3]\) și \(B = (3, 5]\).

Cele două intervale se ating la \(3\). Verificăm: \(A\) include \(3\) (paranteză pătrată), dar \(B\) exclude \(3\) (paranteză rotundă). Niciun număr nu poate fi simultan în ambele la punctul \(3\), deci:

\[A \cap B = \emptyset\]

Pentru reuniune: \(3\) este acoperit de \(A\), deci nu există nicio gaură între cele două intervale. Se pot uni într-un singur interval:

\[A \cup B = [1,\ 5]\]

Cazul 2b. Fie \(A = [1, 3)\) și \(B = (3, 5]\).

Acum \(3\) nu aparține nici lui \(A\), nici lui \(B\). Intersecția este vidă, ca înainte:

\[A \cap B = \emptyset\]

Reuniunea are o gaură la \(3\) — niciun interval nu îl acoperă. Nu se poate scrie ca un singur interval:

\[A \cup B = [1,\ 3) \cup (3,\ 5]\]

Concluzie pentru cazul „se ating”: dacă cel puțin unul dintre intervale include punctul de contact, reuniunea este un interval unic. Dacă amândouă îl exclud, reuniunea rămâne scrisă în două bucăți.

Exemplul 3 – Intersecție cu interval nemărginit

Enunț: Calculați \((-\infty,\ 4] \cap (0,\ 6)\).

Intervalul \((-\infty, 4]\) acoperă toată axa până la \(4\) inclusiv.
Intervalul \((0, 6)\) acoperă de la \(0\) exclus până la \(6\) exclus.
Zona comună începe la \(0\) — exclus, din cauza parantezei rotunde din \((0,6)\) — și se termină la \(4\) — inclus în ambele.

\[(-\infty,\ 4] \cap (0,\ 6) = (0,\ 4]\]

Exemplul 4 – Intervale disjuncte

Enunț: Calculați \((-\infty,\ -1] \cap (2,\ +\infty)\).

Intervalul \((-\infty, -1]\) se oprește la \(-1\). Intervalul \((2, +\infty)\) pornește abia de la \(2\). Nu există niciun număr real care să fie simultan cel mult \(-1\) și strict mai mare decât \(2\).

\[(-\infty,\ -1] \cap (2,\ +\infty) = \emptyset\]

Exemplul 5 – Intersecția unui interval cu o mulțime de numere întregi

Enunț: Fie \(I = [-2,\ 3)\) și \(A = \left\{x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \dfrac{6}{x-1} \in \mathbb{Z}\right\}\). Determinați \(M = I \cap A\).

Pasul 1 — găsim elementele lui \(A\).
Fracția \(\dfrac{6}{x-1}\) este număr întreg exact când \((x-1)\) este un divizor întreg al lui \(6\). Valoarea \(x = 1\) este exclusă automat, deoarece ar da împărțire la zero.

Divizorii întregi ai lui \(6\): \(\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6\). Adăugând \(1\) la fiecare, obținem:

\[A = \{-5,\ -2,\ -1,\ 0,\ 2,\ 3,\ 4,\ 7\}\]

Pasul 2 — intersectăm cu \(I = [-2,\ 3)\).
Reținem elementele din \(A\) care verifică \(-2 \leq x < 3\):

• \(-5\): prea mic, nu aparține.
• \(-2\): \(-2 \geq -2\) ✓
• \(-1\): ✓
• \(0\): ✓
• \(2\): ✓
• \(3\): nu aparține — intervalul este deschis la dreapta (\(3 < 3\) este fals).
• \(4\), \(7\): prea mari.

\[M = \{-2,\ -1,\ 0,\ 2\}\]

Notă: \(A\) este o mulțime finită, iar \(I\) este un interval infinit. Intersecția lor este finită, deoarece nu poate conține elemente care nu se află în \(A\).

Operații cu intervale numerice – Greșeli frecvente

Extremitățile puse pe axă în ordine greșită. Numerele trebuie așezate de la mic la mare, indiferent de ordinea din enunț. Pentru \(A = [0, 5]\) și \(B = [-2, 3]\), ordinea corectă pe axă este \(-2,\ 0,\ 3,\ 5\).

Paranteza greșită la capetele comune. La intersecție, un capăt este inclus numai dacă aparține ambelor intervale. La reuniune, un capăt este inclus dacă aparține cel puțin unuia.

Confuzia la intervale care se ating.
\([1,3] \cup (3,5] = [1,5]\) — se simplifică, pentru că \(3\) este acoperit de primul interval.
\([1,3) \cup (3,5] \neq [1,5]\) — nu se simplifică, pentru că \(3\) nu aparține niciunuia.

Paranteze pătrate lângă infinit. Scrierea \([2, +\infty]\) este greșită. Lângă \(\pm\infty\) se folosește întotdeauna paranteză rotundă: \([2, +\infty)\).

Legătura cu lecțiile următoare

Când rezolvi un sistem de inecuații, fiecare inecuație îți dă un interval de soluții. Soluția întregului sistem este intersecția acelor intervale. Dacă nu știi să calculezi corect intersecția — inclusiv tipul parantezei la capete — nu poți ajunge la răspunsul corect.

Pentru o privire de ansamblu asupra tuturor capitolelor studiate în acest an, poți consulta și hubul de Matematică – clasa a VIII-a.

Resurse suplimentare despre intervale numerice și inecuații sunt disponibile și pe Khan Academy.