Exercițiu rezolvat 1 inspirat din manualul de Matematică pentru clasa a VI-a, Editura Litera, pagina 80
a) Analizați expresia
\[
(-3)^{10} : \left[\,(-3)^{2} \cdot (-3)^{2}\,\right]^{2}
\]
și rescrieți rezultatul sub forma unei singure puteri cu baza \( -3 \).
b) Simplificați raportul
\[
\bigl[\,(-2)^{12} \cdot 5^{10}\,\bigr] : \bigl[\,(-2)^{9} \cdot 5^{7}\,\bigr]
\]
obținând o expresie echivalentă care să fie prezentată ca o putere cu exponent mai mare decât \(1\).
c) Fie
\[
x = (-2)^{11} \cdot 8^{10}, \qquad
y = 3^{41} \cdot (-3)^{27}.
\]
Determinați valorile numerelor naturale \(a\) și \(b\) pentru care produsul
\[
x \cdot y = 2^{a} \cdot 3^{b}
\]
coincide cu expresia numerică
\[
2^{5} \cdot 3^{3}.
\]
\textit{Sursă consultată: exercițiu inspirat din manualul de Matematică pentru clasa a VI-a, Editura Litera, pagina 80.}
REZOLVARE
%––––––––- Punctul a ––––––––––-%
În expresia de la punctul a, observația esențială este că în interiorul parantezelor se află două puteri cu aceeași bază, ambele având exponentul \(2\). Produsul lor poate fi unificat folosind regula adunării exponenților, deoarece factorii sunt identici ca bază:
\[
(-3)^{2} \cdot (-3)^{2} = (-3)^{2+2} = (-3)^{4}.
\]
Ulterior, întreaga expresie obținută este ridicată la puterea a doua. Aplicarea regulii
\[
(a^{m})^{n} = a^{mn}
\]
produce transformarea:
\[
\left[\,(-3)^{4}\,\right]^{2} = (-3)^{8}.
\]
Împărțirea puterilor cu aceeași bază presupune scăderea exponenților, astfel:
\[
(-3)^{10} : (-3)^{8} = (-3)^{10-8} = (-3)^{2}.
\]
Prin urmare, expresia inițială se simplifică natural la o singură putere, anume
\[
(-3)^{2}.
\]
%––––––––- Punctul b ––––––––––-%
În expresia de la punctul b, cele două paranteze conțin câte un factor cu baza \((-2)\) și câte un factor cu baza \(5\). Este util să tratăm separat fiecare pereche de puteri, folosind regula raportului:
\[
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}.
\]
Aplicând această regulă întâi asupra puterilor lui \((-2)\), apoi asupra puterilor lui \(5\), obținem:
\[
\frac{(-2)^{12}}{(-2)^{9}} = (-2)^{12-9} = (-2)^{3},
\qquad
\frac{5^{10}}{5^{7}} = 5^{10-7} = 5^{3}.
\]
Produsul celor două rezultate este
\[
(-2)^{3} \cdot 5^{3}.
\]
Pentru că cele două puteri au același exponent, putem utiliza regula factorului comun înălțat la putere:
\[
a^{n} b^{n} = (ab)^{n}.
\]
Aplicând-o aici:
\[
(-2)^{3} \cdot 5^{3} = \bigl[\,(-2)\cdot 5\,\bigr]^{3} = (-10)^{3}.
\]
Astfel, întreaga expresie se reduce la o putere cu exponentul \(3\), care este mai mare decât \(1\), conform cerinței.
%––––––––- Punctul c ––––––––––-%
Rezolvarea punctului c pornește de la ideea de a rescrie toate puterile într-o formă cât mai simplă, utilizând baze cât mai ușor de comparat. În expresia lui \(x\), apare numărul \(8\), care este convenabil de rescris ca putere a lui \(2\):
\[
8 = 2^{3}.
\]
Ridicarea la puterea a zecea produce:
\[
8^{10} = (2^{3})^{10} = 2^{30}.
\]
Numărul \((-2)^{11}\) poate fi înlocuit cu \(2^{11}\) multiplicat ulterior cu semnul corespunzător, dar pentru operația finală ne interesează doar baza \(2\), astfel:
\[
x = (-2)^{11} \cdot 2^{30}
= 2^{11} \cdot 2^{30}
= 2^{41}.
\]
În ceea ce privește numărul \(y\), acesta conține doi termeni cu baza \(3\), unul pozitiv și unul negativ:
\[
3^{41} \cdot (-3)^{27}.
\]
Puterea negativă poate fi descompusă în baza pozitivă și factorul \((-1)^{27}\). Pentru că exponentul este impar, \((-1)^{27} = -1\), ceea ce conferă întregului produs un semn negativ:
\[
3^{41} \cdot (-3)^{27}
= 3^{41} \cdot 3^{27} \cdot (-1)
= -\,3^{41+27}
= -\,3^{68}.
\]
Produsul \(x \cdot y\) devine
\[
x \cdot y = 2^{41} \cdot (-3^{68}).
\]
Cerința impune ca această expresie să coincidă cu forma standardizată
\[
2^{a} \cdot 3^{b} = 2^{5} \cdot 3^{3}.
\]
Așadar, pentru ca identitatea să fie respectată, exponenții trebuie să fie egali:
\[
a = 5, \qquad b = 3.
\]