Operații cu numere reale reprezentate prin litere. Reducerea termenilor asemenea

În algebră, folosim litere în loc de numere atunci când valoarea nu este fixă sau nu este cunoscută. Aceste litere se numesc variabile. O expresie formată din numere și variabile legate prin operații matematice se numește expresie algebrică.

Ce este un termen algebric

Cel mai simplu element dintr-o expresie algebrică este termenul. Un termen are două părți: coeficientul (numărul din față) și partea literală (litera sau literele, eventual ridicate la o putere).

De exemplu, în termenul \(-5x^2\): coeficientul este \(-5\), iar partea literală este \(x^2\).

Când nu este scris niciun număr în fața literei, coeficientul este \(1\) sau \(-1\). De exemplu, \(x\) înseamnă \(1 \cdot x\), iar \(-ab^2\) înseamnă \(-1 \cdot ab^2\).

Termeni asemenea

Doi sau mai mulți termeni sunt asemenea dacă au exact aceeași parte literală — aceleași litere, ridicate la aceleași puteri.

De exemplu: \(3x^2\) și \(-7x^2\) sunt asemenea (ambii au \(x^2\)). Dar \(3x\) și \(3x^2\) nu sunt asemenea, deși au aceeași literă — puterea este diferită.

Reducerea termenilor asemenea

Când aduni sau scazi termeni asemenea, aduni sau scazi coeficienții și păstrezi partea literală neschimbată.

Exemplu simplu: \(2x + 3x = 5x\). Ai adunat coeficienții \(2 + 3 = 5\) și ai păstrat \(x\).

Exemplu cu mai mulți termeni: \(4a – 2b + a + 5b\). Grupezi termenii cu \(a\) și termenii cu \(b\) separat:

\(4a + a = 5a\) și \(-2b + 5b = 3b\), deci rezultatul este \(5a + 3b\).

Atenție: la adunare și scădere, exponenții nu se modifică. \(3x^2 + 4x^2 = 7x^2\), nu \(7x^4\). Exponenții se modifică doar la înmulțire și împărțire.

Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a termenilor algebrici

La înmulțire, înmulțești coeficienții între ei și aduni exponenții literelor identice:

\[(2x) \cdot (-5x^2) = 2 \cdot (-5) \cdot x^{1+2} = -10x^3\]

Formula generală:

\[ax^n \cdot bx^m = (a \cdot b) \cdot x^{n+m}\]

La împărțire (cu \(b \neq 0\) și \(x \neq 0\)), împarți coeficienții și scazi exponenții literelor identice:

\[(-18x^6y^2) : (-6x^4y) = 3x^2y\]

Formula generală:

\[ax^n : bx^m = (a : b) \cdot x^{n-m}\]

La ridicarea la putere, ridici coeficientul la acea putere (atenție la semn!) și înmulțești exponenții literelor:

\[(-3x^2y)^4 = (-3)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = 81x^8y^4\]

Formula generală:

\[(ax^n)^m = a^m \cdot x^{n \cdot m}\]

Ordinea operațiilor este aceeași ca la numere: mai întâi ridicările la putere, apoi înmulțirile și împărțirile, și la final adunările și scăderile.

Parantezele cu minus în față

Când desfaci o paranteză care are minus în față, schimbi semnul fiecărui termen din interior:

\(-(2x – 3y) = -2x + 3y\)

Este una dintre cele mai frecvente surse de greșeli. Minusul din față se aplică la toți termenii, nu doar la primul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Reducerea termenilor asemenea

Enunț: Adu la forma cea mai simplă expresia \(5x^2 – 3x + 2 + 4x – x^2 – 7\).

Grupăm termenii cu \(x^2\): \(5x^2 – x^2 = 4x^2\).

Grupăm termenii cu \(x\): \(-3x + 4x = x\).

Grupăm termenii liberi: \(2 – 7 = -5\).

Rezultat: \(4x^2 + x – 5\).

Exemplul 2 – Înmulțire și ridicare la putere

Enunț: Calculează \((-2x^2y)^3 \cdot (3xy^2)\).

Ridicăm primul termen la puterea a 3-a:

\((-2)^3 = -8\), \((x^2)^3 = x^6\), \(y^3\), deci \((-2x^2y)^3 = -8x^6y^3\).

Înmulțim cu \(3xy^2\):

Coeficienți: \(-8 \cdot 3 = -24\).

Litera \(x\): \(x^6 \cdot x^1 = x^7\).

Litera \(y\): \(y^3 \cdot y^2 = y^5\).

Rezultat: \(-24x^7y^5\).

Exemplul 3 – Condiție de divizibilitate cu expresie algebrică

Enunț: Fie \(E(x) = 2x – 1\). Determină mulțimea \(A = \left\{x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \dfrac{6}{2x-1} \in \mathbb{Z}\right\}\).

Fracția \(\dfrac{6}{2x-1}\) este număr întreg dacă și numai dacă \((2x-1)\) este un divizor întreg al lui \(6\).

Divizorii întregi ai lui \(6\): \(\{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\}\).

Expresia \(2x – 1\) produce întotdeauna un număr impar (par minus 1 = impar), deci păstrăm doar divizorii impari: \(\{-3, -1, 1, 3\}\).

Rezolvăm pentru fiecare:

\(2x – 1 = -3 \Rightarrow x = -1\)

\(2x – 1 = -1 \Rightarrow x = 0\)

\(2x – 1 = 1 \Rightarrow x = 1\)

\(2x – 1 = 3 \Rightarrow x = 2\)

\(A = \{-1,\ 0,\ 1,\ 2\}\)

Notă: Deși condiția ar putea părea că dă multe soluții, restricția de paritate reduce rezultatul la exact 4 valori.

Aplicație în geometrie

Un dreptunghi are lățimea \(x\) și lungimea \(x + 5\). Perimetrul său, adus la forma cea mai simplă, este:

\[P = 2x + 2(x+5) = 2x + 2x + 10 = 4x + 10\]

Greșeli frecvente

Adunarea termenilor care nu sunt asemenea. \(3x + 2y\) nu se poate simplifica — aceasta este deja forma finală. Nu se poate scrie \(5xy\). Termenii se adună doar dacă au exact aceeași parte literală.

Minusul din fața parantezei aplicat doar la primul termen. Din \(-3(2x – 4)\) rezultă \(-6x + 12\), nu \(-6x – 12\). Minusul se înmulțește cu fiecare termen din paranteză.

Adunarea exponenților la reducerea termenilor asemenea. \(3x^2 + 4x^2 = 7x^2\), nu \(7x^4\). Exponenții se adună doar la înmulțire, nu la adunare.

Coeficientul 1 invizibil. Din \(5x – x\) nu rezultă \(5\), ci \(4x\). Litera \(x\) înseamnă \(1 \cdot x\), deci \((5-1)x = 4x\).

Parantezele la împărțire. \(ay^n : (by^m)\) este diferit de \(ay^n : b \cdot y^m\). Paranteza decide dacă \(b\) este la numitor sau la numărător în rezultat.

Această lecție face parte din unitatea Calcul algebric în R – Clasa a VIII-a, unde găsești toate lecțiile capitolului, de la formule de calcul prescurtat până la ecuații de gradul al doilea. Dacă vrei să explorezi și celelalte teme din programa de clasa a VIII-a, te așteptăm la Matematică clasa a VIII-a — un loc unde matematica chiar are sens.

Întrebări frecvente

Ce coeficient are o literă fără număr în față? Când vezi \(a\), coeficientul este \(1\) — adică \(1 \cdot a\). Când vezi \(-y\), coeficientul este \(-1\). Asta contează la reducerea termenilor: \(5x – x = (5-1)x = 4x\), nu \(5\).

Cum reduc termeni asemenea cu coeficienți fracționari sau cu radicali? Exact la fel. La \(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x\) aduci fracțiile la același numitor și aduni coeficienții. La \(3x\sqrt{5} + x\sqrt{5} – 2x\sqrt{5}\) calculezi \((3+1-2)x\sqrt{5} = 2x\sqrt{5}\). Partea literală rămâne neschimbată.

De ce putem muta termenii când reducem? Pentru că adunarea numerelor reale este comutativă și asociativă. Poți aduna termenii în orice ordine — de exemplu, muți toți termenii cu \(x^2\) împreună pentru a-i calcula mai ușor.

Pot reduce termenii din \(3a + 5b – a\)? Da, dar parțial. Termenii cu \(a\): \(3a – a = 2a\). Termenul \(5b\) nu are pereche și rămâne neschimbat. Rezultatul este \(2a + 5b\).

Legătura cu lecțiile următoare

Ce ai învățat aici — reducerea termenilor și desfacerea parantezelor — este baza pentru lecția despre formulele de calcul prescurtat. Acolo vei vedea că expresii ca \((a+b)^2\) se pot dezvolta rapid fără să înmulțești termen cu termen de fiecare dată. Mai departe, aceleași tehnici sunt necesare pentru simplificarea fracțiilor algebrice și pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea.

Vrei să exersezi mai mult? Pe Khan Academy găsești exerciții interactive despre expresii algebrice, pe care le poți rezolva direct în browser.

Exerciții

1. Identifică termenii asemenea și adu la forma cea mai simplă:

\[E = -3xy^2 + 5a + 5b + ab + 3a – 4ab + 2a\]

2. Calculează, respectând ordinea operațiilor:

\[\left[3x^2 + x – 2(-x + 3x^2)\right] : (-3) – (2x + x^2)\]

3. Un teren dreptunghiular are lățimea \(x\) și lungimea \(2x + 10\). Scrie formula perimetrului în forma cea mai simplă.

4. Ana are \(11\) lei, iar Maria are \(x + 1\) lei. Suma banilor lor verifică relația \(2(x+1) + 3x = 52\). Rezolvă ecuația și află câți lei are Maria.