Inecuații reductibile la forma ax + b ≥ 0
În lecția anterioară ai rezolvat inecuații simple de forma \(ax + b \geq 0\). În practică, inecuațiile nu arată întotdeauna atât de curat — pot conține paranteze, fracții sau modul. Această lecție îți arată cum să aduci astfel de inecuații reductibile la forma simplă pe care deja știi să o rezolvi.
Inecuații reductibile cu paranteze
Când inecuația conține paranteze, primul pas este să le desfaci, apoi să reduci termenii asemenea și să rezolvi ca de obicei.
Exemplu: \(2(x – 1) + 3 < 5\)
Desfacem paranteza: \(2x – 2 + 3 < 5\)
Reducem termenii: \(2x + 1 < 5\)
\(2x < 4\)
\(x < 2\), deci \(S = (-\infty,\ 2)\).
Inecuații cu numitori numerici
Când inecuația conține fracții cu numitori numerici (nu cu \(x\) la numitor), aduci totul la același numitor și înmulțești ambii membri cu acel numitor. Dacă numitorul comun este pozitiv, sensul nu se schimbă.
Exemplul 1
Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\dfrac{x-1}{2} + \dfrac{x+1}{3} \geq x\).
Numitorul comun este \(6\). Înmulțim toți termenii cu \(6\):
\(3(x-1) + 2(x+1) \geq 6x\)
Desfacem parantezele:
\(3x – 3 + 2x + 2 \geq 6x\)
Reducem termenii asemenea:
\(5x – 1 \geq 6x\)
\(-1 \geq 6x – 5x\)
\(-x \geq 1\)
Înmulțim cu \(-1\) — sensul se inversează:
\(x \leq -1\)
\(S = (-\infty,\ -1]\)
Împărțirea cu un număr negativ inversează sensul inegalității.
Inecuații cu fracții algebrice (x la numitor)
Ideea-cheie: Când \(x\) se află la numitor, nu poți înmulți direct cu numitorul, pentru că nu știi dacă este pozitiv sau negativ. În schimb, folosești regula semnelor: semnul unei fracții depinde de semnele numărătorului și numitorului.
- Fracție \(> 0\): numărătorul și numitorul au același semn.
- Fracție \(< 0\): numărătorul și numitorul au semne contrare.
Atenție: numitorul nu poate fi niciodată \(0\), deci condiția pentru numitor este întotdeauna cu inegalitate strictă (\(<\) sau \(>\)), chiar dacă inecuația inițială are \(\leq\) sau \(\geq\).
Exemplul 2
Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{R}\) inecuația \(\dfrac{-4}{2x – 6} \geq 0\).
Numărătorul este \(-4 < 0\). Pentru ca fracția să fie \(\geq 0\), numitorul trebuie să fie negativ (semn contrar numărătorului). Dar numitorul nu poate fi \(0\), deci condiția este strictă:
\(2x – 6 < 0\)
\(2x < 6\)
\(x < 3\)
\(S = (-\infty,\ 3)\)
Observație: Deși inecuația inițială era \(\geq 0\), condiția pentru numitor a devenit strict \(< 0\), tocmai pentru că numitorul nu poate fi zero.
Inecuații cu modul
Modulul unui număr reprezintă distanța față de \(0\) pe axă — deci este întotdeauna \(\geq 0\).
Inecuația \(|ax + b| \leq c\), cu \(c > 0\), se rescrie ca o inegalitate dublă:
\[-c \leq ax + b \leq c\]
Se rezolvă ca două inecuații simultan, iar soluția este intersecția rezultatelor.
Inecuația \(|ax + b| \geq c\), cu \(c > 0\), se rescrie ca o reuniune:
\[ax + b \leq -c \quad \text{sau} \quad ax + b \geq c\]
Caz special: dacă \(c < 0\), de exemplu \(|2x – 1| \leq -4\), mulțimea soluțiilor este vidă — modulul este mereu \(\geq 0\) și nu poate fi mai mic decât un număr negativ: \(S = \emptyset\).
Exemplul 3
Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{R}\) inecuația \(|2x – 1| \leq 5\).
Rescriem ca inegalitate dublă:
\(-5 \leq 2x – 1 \leq 5\)
Adunăm \(1\) în tot:
\(-4 \leq 2x \leq 6\)
Împărțim prin \(2\):
\(-2 \leq x \leq 3\)
\(S = [-2,\ 3]\)
Exemplul 4 – Condiție combinată cu divizibilitate
Enunț: Determină elementele mulțimii \(A = \left\{x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \dfrac{6}{x-2} \in \mathbb{Z} \ \text{și} \ \dfrac{-3}{x-2} > 0\right\}\).
Condiția 1 — divizibilitate: \(\dfrac{6}{x-2} \in \mathbb{Z}\) înseamnă că \((x-2)\) este un divizor întreg al lui \(6\):
\(x – 2 \in \{-6,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 6\}\)
Condiția 2 — inecuație cu fracție: \(\dfrac{-3}{x-2} > 0\). Numărătorul \(-3 < 0\), deci numitorul trebuie să fie și el negativ: \(x – 2 < 0\).
Din lista de la Condiția 1 păstrăm doar valorile negative: \(x – 2 \in \{-6,\ -3,\ -2,\ -1\}\).
Adăugând \(2\) la fiecare:
\(x \in \{-4,\ -1,\ 0,\ 1\}\)
\(A = \{-4,\ -1,\ 0,\ 1\}\)
Observație: Inecuația \(\dfrac{-3}{x-2} > 0\) luată singură în \(\mathbb{R}\) ar da intervalul \((-\infty, 2)\) — o infinitate de soluții. Condiția de divizibilitate reduce rezultatul la patru valori.
Această lecție face parte din unitatea Intervale de numere reale. Inecuații în R – Clasa a VIII-a, unde găsești structura completă a capitolului și toate lecțiile conexe. Dacă vrei să explorezi și celelalte teme din programa de clasa a VIII-a, te așteptăm la Matematică clasa a VIII-a — un loc unde matematica chiar are sens.
Greșeli frecvente
Înmulțirea cu numitorul care conține \(x\). La ecuații poți înmulți cu numitorul fără probleme. La inecuații nu — dacă numitorul este negativ, sensul se schimbă, și nu știi dinainte dacă este pozitiv sau negativ. Folosește întotdeauna regula semnelor.
Semnul greșit la condiția numitorului. Când ai \(\dfrac{a}{bx+c} \leq 0\) sau \(\geq 0\), condiția dedusă pentru numitor este întotdeauna strictă (\(<\) sau \(>\)), nu \(\leq\) sau \(\geq\). Numitorul nu poate fi zero.
Aplicarea formulei modulului când \(c < 0\). Dacă ai \(|ax + b| \leq -3\), nu aplici formula. Soluția este direct \(S = \emptyset\).
Legătura cu lecțiile următoare
Tehnicile din această lecție apar des la fracții algebrice și radicali. De exemplu, pentru ca \(\sqrt{2x – 3}\) să fie definit, trebuie ca \(2x – 3 \geq 0\) — o inecuație pe care o rezolvi exact ca în lecția de față. Fără aceste tehnici, nu poți stabili pe ce valori ale lui \(x\) are sens un calcul.
Pentru exerciții suplimentare și explicații vizuale despre inecuații,poți exersa și pe Khan Academy.