Formule de calcul prescurtat

Când înmulțești două paranteze cu mai mulți termeni, poți aplica distributivitatea pas cu pas. Merge, dar durează. Formulele de calcul prescurtat sunt scurtături care îți dau direct rezultatul final, fără să mai calculezi fiecare produs în parte. Sunt valabile pentru orice numere reale.

Cele patru formule

Pătratul unei sume:

\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

Pătratul unei diferențe:

\[(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\]

Produsul unei sume cu diferența (diferența de pătrate):

\[(a+b)(a-b) = a^2 – b^2\]

Pătratul unui trinom:

\[(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\]

Ce înseamnă fiecare formulă

Pătratul sumei și pătratul diferenței au aceeași structură: pătratul primului termen, plus sau minus dublul produsului celor doi termeni, plus pătratul celui de-al doilea termen. Diferența dintre ele este doar semnul din fața lui \(2ab\): plus la sumă, minus la diferență. Ultimul termen, \(b^2\), este întotdeauna pozitiv în ambele cazuri — pentru că orice număr ridicat la pătrat este pozitiv.

Diferența de pătrate apare când înmulțești o sumă cu diferența acelorași doi termeni. Termenii din mijloc se anulează și rămâi cu \(a^2 – b^2\).

Formulele sunt reversibile. Le poți citi de la stânga la dreapta — dezvolți o putere într-o sumă. Le poți citi de la dreapta la stânga — descompui o sumă înapoi într-un produs. Vei folosi ambele sensuri în lecțiile următoare.

Observație importantă

\((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Această greșeală apare des — elevii distribuie puterea pe fiecare termen și uită de dublul produs \(2ab\). Pătratul unei sume are trei termeni, nu doi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Dezvoltarea pătratului unei diferențe

Enunț: Dezvoltă expresia \((3x – 4y)^2\).

Aplicăm formula \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) cu \(a = 3x\) și \(b = 4y\):

\((3x)^2 = 9x^2\)

\(2 \cdot 3x \cdot 4y = 24xy\)

\((4y)^2 = 16y^2\)

\[(3x-4y)^2 = 9x^2 – 24xy + 16y^2\]

Exemplul 2 – Calcul aritmetic rapid

Enunț: Calculează \(101 \cdot 99\).

Rescriem: \(101 = 100 + 1\) și \(99 = 100 – 1\), deci:

\[101 \cdot 99 = (100+1)(100-1) = 100^2 – 1^2 = 10000 – 1 = 9999\]

Am folosit formula diferenței de pătrate și am evitat înmulțirea lungă.

Exemplul 3 – Simplificarea unui numitor cu formula pătratului sumei

Enunț: Determină elementele mulțimii \(A = \left\{x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \dfrac{8}{(x+1)^2 – x^2} \in \mathbb{Z}\right\}\).

Simplificăm mai întâi numitorul:

\[(x+1)^2 – x^2 = x^2 + 2x + 1 – x^2 = 2x + 1\]

Condiția devine: \(\dfrac{8}{2x+1} \in \mathbb{Z}\), adică \((2x+1)\) trebuie să fie un divizor întreg al lui \(8\).

Divizorii întregi ai lui \(8\): \(\{-8,\ -4,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 4,\ 8\}\).

Expresia \(2x+1\) produce întotdeauna numere impare (de două ori un întreg, plus 1). Păstrăm doar divizorii impari: \(\{-1,\ 1\}\).

\(2x + 1 = -1 \Rightarrow x = -1\)

\(2x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\)

\[A = \{-1,\ 0\}\]

Notă: Deși \(x \in \mathbb{Z}\) înseamnă infinit de valori posibile, condiția de divizibilitate reduce mulțimea la exact două elemente.

Greșeli frecvente

\((a+b)^2 = a^2 + b^2\) — greșit. Lipsește dublul produs \(2ab\). Forma corectă este \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Verifică întotdeauna că ai trei termeni în rezultat.

\((a-b)^2 = a^2 – 2ab – b^2\) — greșit. Ultimul termen este \(+b^2\), nu \(-b^2\). Orice număr ridicat la pătrat este pozitiv, deci \(b^2 > 0\) indiferent de semnul lui \(b\).

Confuzia între \((a-b)^2\) și \(a^2 – b^2\). Sunt două formule diferite. \((a-b)^2\) este pătratul unei diferențe și are trei termeni. \(a^2 – b^2\) este diferența de pătrate și se obține din \((a+b)(a-b)\).

Legătura cu lecțiile următoare

Aceste formule le vei folosi în sens invers la lecția despre descompunerea în factori — vei recunoaște o expresie de tipul \(a^2 – 2ab + b^2\) și o vei rescrie ca \((a-b)^2\). De acolo, ele sunt necesare la simplificarea fracțiilor algebrice și la rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea.

Această lecție face parte din unitatea Calcul algebric în R – Clasa a VIII-a, unde găsești toate lecțiile capitolului. Dacă vrei să explorezi și celelalte teme din clasa a VIII-a, te așteptăm la Matematică clasa a VIII-a unde găsești toate lecțiile organizate pe capitole și unități de învățare.