Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ

În lecția despre formule de calcul prescurtat ai învățat să dezvolți expresii — de exemplu, din \((x+3)^2\) ajungeai la \(x^2 + 6x + 9\). Acum faci drumul invers: pornești de la o sumă de termeni și o rescrii ca un produs. Acest proces se numește descompunere în factori.

De ce e util? Pentru că o expresie scrisă ca produs este mult mai ușor de lucrat — se simplifică fracții, se rezolvă ecuații, se reduc calcule lungi.

Ce înseamnă să descompui în factori

A descompune în factori o expresie algebrică înseamnă a o transforma dintr-o sumă sau diferență de termeni într-un produs. Factorii obținuți trebuie să fie diferiți de \(1\) și \(-1\).

De exemplu: \(3x + 12 = 3(x + 4)\). Am transformat o adunare într-o înmulțire.

Trei metode de descompunere

Metoda 1 — Factorul comun. Cauți un număr, o literă sau o expresie care apare în toți termenii, o scoți în față și lași restul în paranteză:

\[ax + ay = a(x + y)\]

Metoda 2 — Gruparea termenilor. Când nu există un factor comun pentru toți termenii, grupezi câte doi termeni care au ceva în comun, extragi factorul parțial din fiecare grup, apoi scoți paranteza comună:

\[ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)\]

Metoda 3 — Formulele de calcul prescurtat citite invers. Recunoști tiparul unei formule și rescrii expresia direct ca produs:

\[a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\] \[a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\] \[a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\]

Regula de aur

Caută întotdeauna mai întâi factorul comun. Dacă îl extragi, ce rămâne în paranteză devine mai simplu și de multe ori arată ca o formulă de calcul prescurtat.

O descompunere este completă doar când niciunul dintre factorii obținuți nu mai poate fi descompus. Dacă obții \((x^2 – 4)\) ca factor, trebuie să continui — este o diferență de pătrate și se descompune în \((x-2)(x+2)\).

Atenție: suma de pătrate \(a^2 + b^2\) nu se poate descompune în \(\mathbb{R}\). Dacă ajungi la ea, te oprești.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Factor comun urmat de formulă

Enunț: Descompune în factori \(3x^3 – 12x\).

Căutăm factorul comun: atât \(3\) și \(12\), cât și \(x^3\) și \(x\) au factori comuni. Factorul comun este \(3x\).

\[3x^3 – 12x = 3x(x^2 – 4)\]

Paranteza \((x^2 – 4)\) este o diferență de pătrate: \(x^2 – 2^2\). Aplicăm formula:

\[3x(x^2 – 4) = 3x(x-2)(x+2)\]

Niciunul dintre cei trei factori nu mai poate fi descompus. Rezultat final: \(3x(x-2)(x+2)\).

Exemplul 2 – Gruparea termenilor

Enunț: Descompune în factori \(x^2 – 5x + 6\).

Nu există factor comun pentru toți cei trei termeni. Căutăm două numere care adunate dau \(-5\) și înmulțite dau \(+6\). Acestea sunt \(-2\) și \(-3\).

Rescriem termenul din mijloc:

\[x^2 – 2x – 3x + 6\]

Grupăm primii doi termeni și ultimii doi:

\[x(x – 2) – 3(x – 2)\]

Paranteza \((x-2)\) este factor comun. O scoatem în față:

\[(x-2)(x-3)\]

Verificare: \((x-2)(x-3) = x^2 – 3x – 2x + 6 = x^2 – 5x + 6\) ✓

Exemplul 3 – Condiție de divizibilitate cu descompunere la numitor

Enunț: Determină elementele mulțimii \(A = \left\{x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \dfrac{5}{x^2 – 4x + 4} \in \mathbb{Z}\right\}\).

Simplificăm numitorul recunoscând formula pătratului diferenței:

\[x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\]

Condiția devine: \(\dfrac{5}{(x-2)^2} \in \mathbb{Z}\), adică \((x-2)^2\) trebuie să fie un divizor al lui \(5\).

Divizorii întregi ai lui \(5\): \(\{-5, -1, 1, 5\}\).

Deoarece orice număr la pătrat este \(\geq 0\), excludem \(-5\) și \(-1\). Rămân \(1\) și \(5\).

\((x-2)^2 = 5\) nu are soluții întregi (\(\sqrt{5}\) nu este număr întreg).

\((x-2)^2 = 1 \Rightarrow x – 2 = 1\) sau \(x – 2 = -1 \Rightarrow x = 3\) sau \(x = 1\).

\[A = \{1,\ 3\}\]

Notă: Deși \(x \in \mathbb{Z}\) înseamnă infinit de valori posibile, condiția de divizibilitate reduce mulțimea la exact două elemente.

Greșeli frecvente

Oprirea prea devreme. Dacă obții un factor care mai poate fi descompus, trebuie să continui. De exemplu, \(a(a^2 – b^2)\) nu este forma finală — \((a^2 – b^2)\) este diferență de pătrate și devine \((a-b)(a+b)\). Rezultatul corect este \(a(a-b)(a+b)\).

Confundarea \(x^2 + 9\) cu \((x+3)^2\). Suma de pătrate nu se descompune în \(\mathbb{R}\). Dacă dezvolți \((x+3)^2\), obții \(x^2 + 6x + 9\), nu \(x^2 + 9\). Cele două expresii sunt complet diferite.

Semnul greșit la grupare. Când extragi un factor negativ dintr-un grup, semnele din paranteză se schimbă. De exemplu, \(-3x + 6 = -3(x – 2)\), nu \(-3(x + 2)\).

Legătura cu lecțiile următoare

La fracțiile algebrice vei vedea că o fracție se simplifică doar prin factori, nu prin termeni dintr-o adunare. Ca să poți simplifica, trebuie să descompui mai întâi numărătorul și numitorul. La ecuațiile de gradul al doilea, vei transforma expresia într-un produs de două paranteze egal cu zero — și vei găsi soluțiile știind că un produs este zero când cel puțin unul dintre factori este zero.

Această lecție face parte din unitatea Calcul algebric în R – Clasa a VIII-a, unde găsești toate lecțiile capitolului. Dacă vrei să explorezi și celelalte teme din clasa a VIII-a, te așteptăm la Matematică clasa a VIII-a — un loc unde matematica chiar are sens.