Recapitulare și evaluare: Intervale de numere reale. Inecuații în R

Această pagină adună tot ce ai învățat în capitolul despre intervale și inecuații. Înainte de evaluare, parcurge sinteza, rezolvă exercițiile recapitulative și verifică-te cu mini-testul de la final.

Ce trebuie să știi

Universul contează. Aceeași condiție dă rezultate diferite în funcție de mulțimea în care lucrezi. De exemplu, \(1 < x \leq 4\) în \(\mathbb{N}\) dă \(\{2, 3, 4\}\), dar în \(\mathbb{R}\) dă intervalul \((1, 4]\) — o infinitate de numere.

Tipul parantezei depinde de tipul inegalității. Inegalitățile nestricte (\(\leq\), \(\geq\)) dau paranteză pătrată \([\,]\) și cerc plin pe axă. Inegalitățile stricte (\(<\), \(>\)) dau paranteză rotundă \((\,)\) și cerc gol pe axă.

Regula de bază la inecuații. Rezolvi o inecuație exact ca o ecuație, cu o singură diferență: dacă înmulțești sau împarți cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează. Din \(<\) devine \(>\), din \(\leq\) devine \(\geq\) și invers.

Modulul. Inecuația \(|x| \leq a\) (cu \(a > 0\)) se rescrie ca \(-a \leq x \leq a\). Dacă \(a < 0\), soluția este direct \(S = \emptyset\) — modulul este mereu pozitiv și nu poate fi mai mic decât un număr negativ.

Intersecția și reuniunea pe axă. Când ai două condiții legate prin „și”, calculezi intersecția intervalelor. Când sunt legate prin „sau”, calculezi reuniunea. Reprezintă ambele intervale pe axă și citește zona comună (intersecție) sau zona totală acoperită (reuniune).

Exerciții recapitulative rezolvate

Exercițiul 1 – Interval și mulțimi discrete

Enunț: Se dă intervalul \(I = [-2, 3)\). Determină mulțimea \(A = I \cap \mathbb{N}\) și mulțimea \(B = I \cap \mathbb{Z}\).

Intervalul \(I\) conține toate numerele reale de la \(-2\) inclusiv până la \(3\) exclus.

Pentru \(A\): reținem doar numerele naturale (\(0, 1, 2, \ldots\)) din acest interval. Numărul \(3\) este exclus.

\(A = \{0,\ 1,\ 2\}\)

Pentru \(B\): reținem toate numerele întregi din interval, inclusiv cele negative.

\(B = \{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\}\)

Exercițiul 2 – Inecuație cu paranteză și coeficient negativ

Enunț: Rezolvă în \(\mathbb{R}\) inecuația \(5 – 2(x+1) \geq x + 9\).

Desfacem paranteza:

\(5 – 2x – 2 \geq x + 9\)

Reducem termenii asemenea:

\(3 – 2x \geq x + 9\)

Mutăm termenii cu \(x\) în stânga și numerele în dreapta:

\(-2x – x \geq 9 – 3\)

\(-3x \geq 6\)

Împărțim prin \(-3\) — număr negativ, sensul se inversează:

\(x \leq -2\)

\(S = (-\infty,\ -2]\)

Exercițiul 3 – Sistem de inecuații

Enunț: Determină mulțimea \(M = \{x \in \mathbb{R} \mid |2x-1| \leq 5 \ \text{și} \ 3x+1 > -2\}\).

Inecuația 1: \(|2x – 1| \leq 5\)

\(-5 \leq 2x – 1 \leq 5\)

\(-4 \leq 2x \leq 6\)

\(-2 \leq x \leq 3\), deci \(I_1 = [-2,\ 3]\).

Inecuația 2: \(3x + 1 > -2\)

\(3x > -3\)

\(x > -1\), deci \(I_2 = (-1,\ +\infty)\).

Cuvântul „și” înseamnă intersecție. Suprapunem \([-2, 3]\) cu \((-1, +\infty)\) pe axă: zona comună începe la \(-1\) exclus și se termină la \(3\) inclus.

\(M = (-1,\ 3]\)

Mini-evaluare

Rezolvă următoarele exerciții pe caiet și verifică-te după.

1. Scrie sub formă de interval mulțimea \(\{x \in \mathbb{R} \mid -4 < x \leq 7\}\).

2. Calculează suma numerelor întregi din intervalul \((-2,\ 3]\).

3. Calculează \([-3, 4) \cup (0, 6]\) și \([-3, 4) \cap (0, 6]\).

4. Rezolvă în \(\mathbb{R}\): \(\dfrac{x-3}{2} – x \geq 1\).

5. Rezolvă în \(\mathbb{R}\): \(\dfrac{-7}{2x-8} \geq 0\).

6. Află cel mai mic număr întreg care verifică \(|x + 2| \leq 4\).

Întrebări și răspunsuri

De ce intersecția a două intervale poate fi vidă? Pentru că un număr nu poate fi în același timp în două locuri diferite pe axă. Dacă intervalele sunt separate și nu se ating, nu au niciun element comun.

De ce se schimbă sensul când înmulțim cu un număr negativ? Gândește-te la \(2 < 5\). Dacă înmulțești cu \(-1\), obții \(-2\) și \(-5\). Pe axă, \(-2\) este mai mare decât \(-5\), deci relația devine \(-2 > -5\). Ordinea se inversează.

Poate intersecția a două intervale să fie un singur număr? Da. De exemplu, \([-2, 4] \cap [4, 7] = \{4\}\) — singura valoare comună este chiar \(4\), inclus în ambele intervale.

Această lecție face parte din unitatea Intervale de numere reale. Inecuații în R – Clasa a VIII-a, unde găsești structura completă a capitolului și toate lecțiile conexe. Dacă vrei să explorezi și celelalte teme din programa de clasa a VIII-a, te așteptăm la Matematică clasa a VIII-a — un loc unde matematica chiar are sens.