Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa numerelor
În lecția anterioară am descris mulțimi de numere folosind o proprietate comună. Când universul de lucru este \(\mathbb{R}\), condiția \(a \leq x \leq b\) nu mai produce o mulțime finită de numere, ci o porțiune continuă de pe axă — o infinitate de valori care nu pot fi enumerate. Pentru a lucra cu astfel de mulțimi, folosim un instrument specific: intervale numerice.
Definiție
Un interval numeric este o submulțime a lui \(\mathbb{R}\) formată din toate numerele reale cuprinse între două valori fixe, numite capete sau extremități. Pe axa numerelor, un interval corespunde unei porțiuni continue — un segment, o semidreaptă sau întreaga axă.
Tipuri de intervale numerice și notație
Un interval se scrie cu cele două capete separate prin virgulă, încadrate de paranteze. Tipul parantezei indică dacă capătul este inclus sau exclus din interval:
Paranteza pătrată \([\) sau \(]\) — capătul este inclus. Pe axă se marchează cu un cerc plin \(\bullet\).
Paranteza rotundă \((\) sau \()\) — capătul este exclus. Pe axă se marchează cu un cerc gol \(\circ\).
Această alegere corespunde direct tipului de inegalitate: \(\leq\) sau \(\geq\) (inegalitate nestrică) dă paranteză pătrată; \(<\) sau \(>\) (inegalitate strictă) dă paranteză rotundă.
Tabel sintetic al tipurilor de intervale
| Tip interval | Notație cu proprietate | Notație interval |
|---|---|---|
| Închis | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\) | \([a, b]\) |
| Deschis | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}\) | \((a, b)\) |
| Semideschis stânga | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}\) | \((a, b]\) |
| Semideschis dreapta | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}\) | \([a, b)\) |
| Nemărginit stânga | \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\}\) | \((-\infty, b]\) |
| Nemărginit dreapta | \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}\) | \([a, +\infty)\) |
| Întreaga axă | \(\{x \in \mathbb{R}\}\) | \((-\infty, +\infty)\) |
Observații importante
Ordinea capetelor. Capătul din stânga al unui interval este întotdeauna mai mic decât cel din dreapta, reflectând ordinea de pe axă. Scrierea \([5, 2]\) este incorectă; forma corectă este \([2, 5]\).
Infinitul nu se include niciodată. Simbolurile \(-\infty\) și \(+\infty\) nu reprezintă numere reale, deci nu pot fi capete incluse. Lângă \(\pm\infty\) se pune întotdeauna paranteză rotundă.
Intervalele există doar în \(\mathbb{R}\). Dacă \(x \in \mathbb{N}\) și condiția este \(1 \leq x \leq 4\), rezultatul este mulțimea finită \(\{1, 2, 3, 4\}\), nu intervalul \([1, 4]\). Intervalele descriu porțiuni continue, iar \(\mathbb{N}\) și \(\mathbb{Z}\) sunt mulțimi discrete.
Exemple rezolvate
Exemplul 1 – Scrierea unui interval din inegalitate
Enunț: Scrie sub formă de interval mulțimea \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 3\}\) și descrie reprezentarea pe axă.
Rezolvare:
Capătul din stânga este \(-2\), cu inegalitate strictă (\(<\)) → paranteză rotundă.
Capătul din dreapta este \(3\), cu inegalitate nestrică (\(\leq\)) → paranteză pătrată.
\[A = (-2,\ 3]\]
Pe axă: cerc gol la \(-2\), cerc plin la \(3\), segment hașurat între ele.
Exemplul 2 – Verificarea apartenenței la un interval
Enunț: Stabilește care dintre numerele \(-4\), \(0\) și \(5\) aparțin intervalului \([-3, 5)\).
Rezolvare:
Intervalul \([-3, 5)\) corespunde condiției \(-3 \leq x < 5\). Verificăm fiecare număr:
\(-4\): este \(-3 \leq -4\)? Nu. Deci \(-4 \notin [-3, 5)\).
\(0\): este \(-3 \leq 0 < 5\)? Da. Deci \(0 \in [-3, 5)\).
\(5\): este \(5 < 5\)? Nu — inegalitatea este strictă. Deci \(5 \notin [-3, 5)\).
Exemplul 3 – Interval nemărginit
Enunț: Exprimă sub formă de interval mulțimea \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 4\}\).
Rezolvare:
Capătul din stânga este \(4\), cu inegalitate nestrică (\(\geq\)) → paranteză pătrată.
Nu există capăt superior → \(+\infty\) cu paranteză rotundă.
\[B = [4, +\infty)\]
Pe axă: cerc plin la \(4\), semidreaptă hașurată spre dreapta.
Exemplul 4 – Trecerea de la interval la inegalitate
Enunț: Scrie condiția (inegalitatea) corespunzătoare intervalului \((-1, 7]\).
Rezolvare:
Paranteza rotundă la \(-1\) → inegalitate strictă: \(x > -1\).
Paranteza pătrată la \(7\) → inegalitate nestrică: \(x \leq 7\).
Condiția completă: \(-1 < x \leq 7\), cu \(x \in \mathbb{R}\).
Greșeli frecvente
Inversarea capetelor. Scrierea \([5, 2]\) este greșită. Capătul stâng trebuie să fie întotdeauna mai mic. Forma corectă este \([2, 5]\).
Confuzia dintre tipul parantezei și tipul punctului pe axă. Paranteza pătrată \([\) corespunde cercului plin \(\bullet\) (capăt inclus). Paranteza rotundă \((\) corespunde cercului gol \(\circ\) (capăt exclus). Amestecarea lor este o eroare frecventă la reprezentarea geometrică.
Paranteze pătrate lângă infinit. Scrierea \([2, +\infty]\) este incorectă. Lângă \(\pm\infty\) se folosește întotdeauna paranteză rotundă: \([2, +\infty)\).
Confuzia între interval și mulțime discretă. Dacă \(x \in \mathbb{N}\), condiția \(1 \leq x \leq 4\) nu produce intervalul \([1, 4]\), ci mulțimea \(\{1, 2, 3, 4\}\). Intervalele există numai în \(\mathbb{R}\).
Legătura cu lecțiile următoare
Aceste notații vor fi folosite imediat în lecția despre operații cu intervale din cadrul capitolului „Intervale de numere reale. Inecuații în R”, unde intersecția și reuniunea a două intervale se calculează direct pe axă. Mai departe, când vei rezolva inecuații de forma \(ax + b < 0\), mulțimea soluțiilor nu va fi un număr izolat, ci un interval — scris exact în notația exersată în această lecție. Dacă vrei să vezi toate capitolele și lecțiile organizate într-un singur loc, accesează pagina principală de Matematică pentru clasa a VIII-a.