Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor

Până acum ai lucrat cu mulțimi ale căror elemente puteau fi scrise direct între acolade: de exemplu, \(\{1, 2, 3\}\) sau \(\{-5, 0, 7\}\). Această metodă funcționează bine când mulțimea are puține elemente. Dar cum descriem toate numerele întregi cuprinse între \(-100\) și \(100\)? Sau toate numerele reale pozitive? Enumerarea devine imposibilă.

Soluția este să definim mulțimea printr-o proprietate comună pe care trebuie să o îndeplinească elementele ei. În loc să scriem elementele, scriem regula.

Notația standard

Formula generală pentru o mulțime definită printr-o proprietate este:

\[M = \{ x \in U \mid P(x) \}\]

Fiecare parte a acestei scrieri are un rol precis:

\(M\) este numele mulțimii. \(x\) este un element generic, care reprezintă forma elementelor căutate. \(U\) este mulțimea din care se aleg elementele — poate fi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) sau \(\mathbb{R}\). Bara verticală \(\mid\) se citește „cu proprietatea că” sau „astfel încât”. \(P(x)\) este condiția pe care trebuie să o verifice \(x\) — o ecuație, o inecuație sau o relație de divizibilitate.

Apartenența unui element la mulțime se verifică simplu: înlocuiești \(x\) cu numărul respectiv în condiția \(P(x)\) și verifici dacă obții o afirmație adevărată.

Observație importantă: universul contează

Mulțimea din care se aleg elementele — notată \(U\) — schimbă complet rezultatul. Condiția \(1 < x < 4\) dă rezultate diferite în funcție de univers:

Dacă \(x \in \mathbb{N}\): elementele sunt \(\{2, 3\}\) — o mulțime finită.
Dacă \(x \in \mathbb{R}\): elementele sunt toate numerele reale strict între 1 și 4 — o infinitate de valori, care nu pot fi enumerate.

De aceea, primul lucru pe care îl citești într-o astfel de scriere este întotdeauna mulțimea din stânga barei verticale.

Forma generatoare

Există și o formă alternativă, utilă când elementele mulțimii sunt generate printr-o expresie matematică:

\[M = \{ E(k) \mid k \in U \}\]

Variabila \(k\) ia pe rând valorile din \(U\), iar expresia \(E(k)\) calculează elementele mulțimii. De exemplu, \(\{2k \mid k \in \mathbb{N}\}\) generează toate numerele naturale pare: \(0, 2, 4, 6, \ldots\)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 – Mulțime finită definită printr-o inecuație în \(\mathbb{Z}\)

Enunț: Enumerați elementele mulțimii \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \leq x < 3\}\).

Rezolvare:

Din stânga barei: \(x \in \mathbb{Z}\), deci căutăm numere întregi.
Din dreapta barei: condiția este \(-2 \leq x < 3\).

Semnul \(\leq\) include capătul \(-2\). Semnul \(<\) exclude capătul \(3\), deci cel mai mare întreg acceptat este \(2\).

Enumerând numerele întregi care verifică condiția:
\[A = \{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\}\]

Exemplul 2 – Mulțime în \(\mathbb{R}\) definită printr-o inecuație

Enunț: Descrieți mulțimea \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x \leq 2\}\).

Rezolvare:

Din stânga barei: \(x \in \mathbb{R}\), deci nu mai avem o mulțime finită.
Condiția \(-1 \leq x \leq 2\) este verificată de orice număr real cuprins între \(-1\) și \(2\), inclusiv capetele. Aceasta include numere ca \(0\), \(\frac{1}{2}\), \(\sqrt{2}\), \(1{,}999\) și infinit mai multe altele.

Mulțimea \(B\) nu poate fi enumerată. Ea reprezintă un interval de numere reale și va fi studiată în detaliu în lecția următoare.

Exemplul 3 – Mulțime definită printr-o condiție de divizibilitate în \(\mathbb{Z}\)

Enunț: Determinați elementele mulțimii \(C = \left\{x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \dfrac{10}{x-1} \in \mathbb{Z}\right\}\).

Rezolvare:

Fracția \(\dfrac{10}{x-1}\) este număr întreg dacă și numai dacă \((x – 1)\) este un divizor întreg al lui \(10\).

Divizorii întregi ai lui \(10\) sunt: \(\{-10,\ -5,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 5,\ 10\}\).

Pentru fiecare valoare a lui \(x – 1\), aflăm \(x\) adunând \(1\):

\[
\begin{array}{rcl}
x – 1 = -10 & \Rightarrow & x = -9 \\
x – 1 = -5 & \Rightarrow & x = -4 \\
x – 1 = -2 & \Rightarrow & x = -1 \\
x – 1 = -1 & \Rightarrow & x = 0 \\
x – 1 = 1 & \Rightarrow & x = 2 \\
x – 1 = 2 & \Rightarrow & x = 3 \\
x – 1 = 5 & \Rightarrow & x = 6 \\
x – 1 = 10 & \Rightarrow & x = 11
\end{array}
\]

Toate valorile obținute sunt întregi, deci:
\[C = \{-9,\ -4,\ -1,\ 0,\ 2,\ 3,\ 6,\ 11\}\]

Observație: Condiția \(x – 1 \neq 0\), adică \(x \neq 1\), este automat respectată, deoarece \(0\) nu este divizor al lui \(10\).

Exemplul 4 – Scrierea unei mulțimi în formă generatoare

Enunț: Exprimați mulțimea \(D = \{3, 6, 9, 12, 15\}\) folosind o expresie generatoare.

Rezolvare:

Toate elementele sunt multipli ai lui \(3\): \(3 \cdot 1,\ 3 \cdot 2,\ 3 \cdot 3,\ 3 \cdot 4,\ 3 \cdot 5\).
Elementul general este \(3k\), unde \(k\) ia valorile \(1, 2, 3, 4, 5\).

Scrierea în formă generatoare:
\[D = \{3k \mid k \in \mathbb{N}^*,\ k \leq 5\}\]

Greșeli frecvente

Ignorarea universului. Cea mai comună greșeală este să nu citești din ce mulțime face parte \(x\). De exemplu, pentru \(\{x \in \mathbb{R} \mid 5 < x < 8\}\), unii elevi scriu imediat \(\{6, 7\}\), ca și cum \(x\) ar fi număr natural. Între \(5\) și \(8\) există o infinitate de numere reale, iar această mulțime nu poate fi enumerată. Verificarea universului trebuie să fie întotdeauna primul pas.

Confuzia între \(<\) și \(\leq\). Semnul \(\leq\) include capătul, semnul \(<\) îl exclude. În exemplul \(-2 \leq x < 3\), numărul \(-2\) aparține mulțimii, dar \(3\) nu aparține. Omiterea sau adăugarea unui capăt duce la un rezultat greșit.

Inversarea condiției de divizibilitate. Când lucrezi cu o fracție de tipul \(\dfrac{a}{E(x)}\), condiția ca fracția să fie număr întreg este ca \(E(x)\) să fie divizor al lui \(a\) — nu invers.

Legătura cu lecțiile următoare

Notația \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\) este chiar definiția unui interval de numere reale. Ceea ce ai învățat în această lecție este limbajul prin care se descriu intervalele și, mai departe, mulțimile de soluții ale inecuațiilor. Soluția unei inecuații nu este un singur număr, ci o mulțime întreagă de numere — descrisă exact prin tipul de scriere exersat aici.

Această lecție face parte din unitatea „Intervale de numere reale. Inecuații în R”. Pentru o privire de ansamblu asupra tuturor capitolelor, accesează și hubul de Matematică pentru clasa a VIII-a.